Statystyka w zarządzaniu - Amir D. Aczel, Jayavel Sounderpandian

154.00 zł
123.20 zł (123,20 zł najniższa cena z 30 dni)

Bookmark Settings Fullscreen

8.5. Rozkład F i test dla wariancji w dwóch populacjach

W tym podrozdziale poznamy ostatni z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa stosowanych w badaniach statystycznych. Jest nim rozkład F, nazwany tak od pierwszej litery nazwiska angielskiego statystyka Sir Ronalda A. Fishera, który ten rozkład odkrył w 1924 r.

Rozkład F jest rozkładem ilorazu dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie chi-kwadrat, podzielonych przez właściwe dla nich liczby stopni swobody.

Niech będzie zmienną losową chi-kwadrat o k1 stopniach swobody, a inną zmienną losową chi-kwadrat, niezależną od poprzedniej, o k2 stopniach swobody. Wtedy iloraz we wzorze 8.15 ma rozkład F o k1 i k2 stopniach swobody.

Zmienna losowa F o k1i k2 stopniach swobody:

(8.15)

Rozkład F charakteryzują dwie liczby stopni swobody: k1, zwana liczbą stopni swobody w liczniku, i k2, zwana liczbą stopni swobody w mianowniku. Zawsze wymienia się najpierw pierwszą, a potem drugą z tych liczb. Pierwsza jest związana ze zmienną chi-kwadrat występującą w liczniku, a druga - ze zmienną chi-kwadrat występującą w mianowniku wzoru 8.15.

Ponieważ jest wiele możliwych kombinacji stopni swobody zmiennej losowej F, tablice podające jej wartość przy zadanym prawdopodobieństwie są jeszcze bardziej zwięzłe niż tablice zmiennej chi-kwadrat. Tablica 5 w dodatku C podaje wartości krytyczne F? dla rozkładu F przy różnych liczbach stopni swobody w liczniku i w mianowniku, odpowiadające prawostronnym obszarom dla ? = 0,10; 0,05; 0,025 i 0,01. Druga część tablicy 5 podaje wartości krytyczne przy ? = 0,05 i ? = 0,01 dla szerszego zakresu zmiennych losowych F. Wykorzystajmy tablicę 5 do przekonania się, że punkt 3,01 odcina pole o mierze 0,05 z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu zmiennej losowej F, o 7 stopniach swobody w liczniku i 11 stopniach swobody w mianowniku, co pokazano na rysunku 8.12. Na rysunku 8.13 pokazano rozkłady F o różnej liczbie stopni swobody (w liczniku i w mianowniku). Rozkłady F są niesymetryczne (własność, którą dziedziczą po swoich macierzystych rozkładach chi-kwadrat), a kształtem przypominają rozkłady chi-kwadrat. Zauważmy, że F(7, 11) ? F(11,7). Dlatego trzeba zwracać uwagę, która liczba stopni swobody odnosi się do licznika, a która do mianownika.

Rysunek 8.12. Rozkład F o 7 i 11 stopniach swobody

Rysunek 8.13. Kilka rozkładów F

Tablica 8.2 (uzupełniona rysunkiem) jest reprodukcją części tablicy 5 z dodatku C, pokazującą punkty (wartości) odcinające z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu pola o mierze ? = 0,05 przy różnych kombinacjach stopni swobody w liczniku i w mianowniku.

Tablica 8.2. Krytyczne punkty (wartości) odcinające z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu pole o mierze 0,05, dla wybranych rozkładów F

(1 - ?)100% przedział prognozy dla Y wynosi:

(10.32)

Jak widać z tego wzoru, rozpiętość przedziału zależy od odległości wartości x (dla której prognozujemy wartość Y) od średniej Pokazano to na rysunku 10.33.

Rysunek 10.32. Prognoza w przykładzie American Express

Rysunek 10.33 Przedział prognozy i jego rozpiętość

Skorzystamy z równania 10.32 do wyznaczenia 95% przedziału prognozy dla obciążenia karty kredytowej American Express przez posiadacza karty, który przebył trasę o długości 4000 mil. Wemy, że w tym przykładzie . Wiemy też, że SSX = 40 947 557,84, a s = 318,16. W tablicy 3 w dodatku C znajdujemy wartość krytyczną w rozkładzie t przy 23 stopniach swobody: 2,069. Stosując równanie 10.32, otrzymujemy:

5296,05 ? (2,069)(318,16) ?1 + 1/25 + (4000 - 3177,92)2/40 947 577,84

= 5296,05 ? 676,62 = [4619,43, 5972,67]

Opierając się na wynikach badań, możemy być w 95% pewni, że posiadacz karty, który przebył trasę 4000 mil w okresie o danej długości, obciąży swoją kartę kredytową sumą od 4619,43 $ do 5972,67 $.

A jakie jest przeciętne obciążenie kart kredytowych wszystkich posiadaczy, którzy przebyli trasę 4000 mil? Wynosi ono Punktowa ocena jest także równa , ale przedział ufności jest inny.

Przedział ufności dla średniej Y przy danej wartości X

Możemy wyznaczyć przedział ufności dla , tj. oczekiwanej wartości Y przy danym X. Zmienność jest tu mniejsza, ponieważ mamy do czynienia z przeciętną, a nie określoną wartością Y dla danego X. Przedział ufności jest więc węższy od przedziału prognozy przy tym samym poziomie ufności. Przedział ufności dla jest określony wzorem 10.33.

(10.33)

Przedział ufności dla wokół linii regresji wygląda tak, jak przedział na rysunku 10.33, ale jest węższy. Błąd standardowy estymatora warunkowej średniej jest mniejszy niż błąd standardowy prognozowanego Y. Dlatego we wzorze 10.33 pod pierwiastkiem nie występuje liczba 1, która występuje we wzorze 10.32.

10.2. Model regresji liniowej prostej

Jak wiemy z algebry, linia prosta jest opisana równaniem Y = A + BX, gdzie A reprezentuje punkt przecięcia z osią rzędnych, a B - nachylenie linii. W przypadku regresji liniowej prostej modelujemy zależność między dwiema zmiennymi X i Y jako linię prostą. Dlatego nasz model musi zawierać dwa parametry: parametr przecięcia [inaczej: wyraz wolny lub stała - przyp. tłum.]) i parametr nachylenia [współczynnik kierunkowy - przyp. tłum.])[3]. W powszechnie przyjętym zapisie wyraz wolny dla populacji oznacza się przez ?0, a nachylenie dla populacji przez ?1. Dodając składnik (błąd) losowy ?, model regresji dla populacji dany jest równaniem 10.1.

Model regresji liniowej prostej dla populacji jest następujący:

Y = ?0 + ?1X + ?,(10.1)

gdzie Y jest zmienną objaśnianą (zależną), tj. zmienną, której kształtowanie się chcemy wyjaśnić lub przewidzieć, X jest zmienną objaśniającą (niezależną), nazywaną też predyktorem lub regresorem, a ? jest składnikiem (błędem) losowym, czyli jedynym losowym komponentem modelu i tym samym jedynym źródłem losowości Y.

Parametry modelu są następujące:

?0 jest punktem przecięcia z osią rzędnych linii prostej Y = ?0 + ?1X (linia nie zawiera składnika losowego),

?1 jest nachyleniem linii Y = ?0 + ?1X.

Model regresji liniowej prostej dany równaniem 10.1 składa się z dwóch elementów: składnika nielosowego, którym jest sama linia prosta, oraz składnika (błędu) losowego ?. Pokazano to na rysunku 10.4. Nielosowy składnik modelu (linia prosta) jest równaniem średniej wartości Y, przy danej wartości X. Oznaczamy warunkową średnią wartość Y przy danym X przez A zatem, jeżeli model jest poprawny, to średnia wartość Y przy danej wartości X znajduje się dokładnie na linii regresji. Równanie średniej wartości Y, przy danym X, jest określone wzorem 10.2.

Rysunek 10.4.Model regresji liniowej prostej

Warunkowa średnia wartość Y wynosi:

(10.2)

Porównując równania 10.1 i 10.2, widzimy, że na podstawie naszego modelu każda wartość Y obejmuje średnią wartość Y dla danej wartości X (czyli linię prostą) oraz błąd losowy. Czasem będziemy używać uproszczonego zapisu E(Y) na oznaczenie linii, pamiętając jednak, że zawsze chodzi o warunkową średnią Y przy danej wartości X. Gdy X rośnie, średnia wartość Y w populacji też rośnie, jeśli nachylenie linii regresji jest dodatnie, lub maleje, gdy jest ujemne. Faktyczna wartość Y w populacji jest równa średniej warunkowej wartości Y względem X powiększonej o błąd (składnik) losowy ?. Dla danej wartości X możemy więc zapisać:

Y = średnia Y przy danym X + błąd.

Model regresji dla populacji pokazano na rysunku 10.5.

Rysunek 10.5. Linia regresji dla populacji

Określimy teraz założenia modelu regresji liniowej prostej.

Założenia modelu regresji liniowej prostej:

Związek między X i Y jest związkiem liniowym. Wartości zmiennej objaśniającej X są ustalone (nie są losowe). Jedyna losowość w wartościach Y pochodzi ze składnika (błędu) losowego ?. Składniki (błędy) losowe ? mają rozkład normalny o średniej 0 i stałej wariancji ?2. Składniki (błędy) losowe związane z kolejnymi obserwacjami nie są ze sobą skorelowane (ich rozkłady są od siebie wzajemnie niezależne)[4]. W przyjętej w tej książce symbolice:

? ? N(0, ?2)(10.3)